Всего: 135 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Три действительных числа таковы, что модуль каждого из них не меньше модуля суммы двух остальных. Докажите, что сумма всех трёх этих чисел равна нулю.
Обозначим числа в условии за 
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
Не рассмотрен случай  | 6 |
Не рассмотрен случай  | 6 |
Нет правильного сведения к случаю  и не рассмотрен симметричный случай  | 6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Произведение положительных чисел a и b больше 1. Докажите, что для любого натурального 
верно неравенство
Имеем:
где tk — целые числа, зависящие от n и k, но не зависящие от a и b, и при этом
При 
имеем: 
Воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство
Тогда
Учитывая эти неравенства, симметрию коэффициентов 
и равенство 
получим требуемое.
Известно, что значения квадратного трёхчлена 
на интервале [−1, 1] не превосходят по модулю 1. Найти максимальное возможное значение суммы 
Подставляя в многочлен последовательно значения 
из интервала [−1, 1], получим три неравенства: 
и 
Складывая второе с третьим, получим также 
вычитая второе из третьего (они двойные и симметричные!), имеем 
Вычитая из 
неравенство 
получим 
В силу симметрии условия задачи относительно умножения на −1, можем считать коэффициент a положительным. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
Если 
то 
Таким образом, сумма 
в условиях задачи не превосходит 3.
Значение 3 достигается, например, на многочлене 
его минимальное значение достигается внутри интервала в вершине параболы при 
максимальные значения достигаются на концах интервала при 
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Найдены только границы коэффициентов уравнения и их сумм из предложений 1-3. | 2-3 |
Доказана оценка  | 5 |
| Приведён и обоснован пример, когда эта граница достигается. | 2 |
| Пример приведён без обоснования. | 6 |
| Любая неверная граница, решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Докажите, что для любых действительных чисел a, b, c таких, что 0 < a, b, c < 1, выполнено следующее неравенство 
Пусть 
где 
Тогда неравенство запишем в виде
Но
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 12 |
| Представлены основные логические шаги решения. В решении отсутствуют некоторые обоснования. | ± | 9 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 12 | |
Докажите следующее неравенство для положительных чисел a, b, c:
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем гармоническом 
для дробей в левой части неравенства.
Получим:
В силу неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратичном получим:
Тогда имеем: 
что и доказывает исходное неравенство.
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
Докажите следующее неравенство для положительных чисел a, b, c:
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем гармоническом
для дробей в левой части. Получим
По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном
откуда
что доказывает требуемое неравенство.
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
Числа x, y и z положительны, а их произведение равно 1. Докажите неравенство:
Применим к числу 
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 9 чисел: одного числа x, трёх чисел y и пяти чисел z. Получим
Аналогичные неравенства применим и к остальным подкоренным выражениям. Таким образом,
Снова применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, на этот раз для трёх корней 18 степени, получаем
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы двух или трёх чисел при фиксированном произведении считать известным. эквивалентно задаче и требует доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы корней достигается когда 
практически эквивалентно задаче и требует доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
Числа x, y и z положительны, а их произведение равно 1. Докажите неравенство:
Применим к числу 
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 16 чисел: двух чисел x, пяти чисел y и девяти чисел z. Получим 
Аналогичные неравенства применим и к остальным подкоренным выражениям. Таким образом,
Снова применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, на этот раз для трёх корней 32 степени, получаем
Частичные продвижения не оцениваются.
Неравенства о средних можно использовать без доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы двух или трёх чисел при фиксированном произведении считать известным. эквивалентно задаче и требует доказательства.
Утверждение о том, что минимум суммы корней достигается когда практически эквивалентно задаче и требует доказательства.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения — снимать 1 балл. (Чаще всего в этой задаче арифметическая ошибка рушит всё доказательство, нужно применять этот критерий очень осторожно).
Докажите, что
для всех 
Преобразуем исходное выражение
Перемножив соответственно левую и правую части выражений, получаем
Обоснованно получено верное доказательство — 10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивавшие продвижение в решении в верном
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Разделим неравенство на 4, получим
Применим неравенство о средних к числам a и b, и к числам 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для выполняется неравенство 
Разделим неравенство на 4, получим
Применим неравенство о средних к числам a и b, и к числам 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
а) Покажите, что 
при 
б) Единичный квадрат разделен двумя прямыми на четыре прямоугольника. Докажите, что произведение площадей двух несмежных прямоугольников не превосходит 
в) Найдите наибольшее значение произведения xy, если известно, что 
а) Возводя неравенство в квадрат, получаем 
Первое неравенство очевидно. Второе сводится к
что верно.
б) Произведение площадей нeсмежных прямоугольников (обозначения — на рисунке) равно
в) Имеем: 
значит, 
Равенство достигается при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Пусть 
Докажите, что 
б) Докажите неравенство Чебышева: если
то 
в) Пусть функция f монотонно возрастает на 
Докажите, что 
а) Докажем, что
б) По индукции:
в) Первое решение: поскольку f возрастает на
то при всех 
имеем
где 
Далее, так как подграфики функций h и g симметричны, то они имеют одинаковую площадь, значит,
В силу произвольности n отсюда следует требуемое неравенство.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
а) Один корень, если 
или 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследуйте функцию 
в) Преобразуйте данное тождество к виду
г) Все нечетные n.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите уравнение 
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны 
то все его корни по модулю меньше двух.
в) Известно, что 
и 
Докажите, что 
а)Очевидно при 
левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
В левой части сумма k выражений вида 
что при положительных a не меньше двух:
причем равенство достигается только при 
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
Ответ:
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны то все его корни по модулю меньше двух.
Запишем многочлен в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Пусть a его корень, 
Тогда 
но
Противоречие. Докажите, что если 
то 
в) В силу обобщенных формул Виета, из данных уравнений следует, что числа 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Известно, что и Докажите, что Рассмотрим кубический многочлен
Он имеет корни 
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
Пусть 
тогда
поэтому 
возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
Далее, 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум.
в) Докажите, что если 
(i = 1, 2, 3), то
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих четырехугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
Допустим, что 
причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M — середина AB, N — середина CD, 
По условию 
и 
тогда
Решим 
отсюда
Противоречие.
Значит на самом деле AB параллельна CD. Аналогично из равенства других площадей получим AD параллельную BC, поэтому ABCD — параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум. Докажем, что ответ 1.
Проекция пирамиды будет либо треугольником, либо четырехугольником. Если это треугольник, то он является проекцией одной из граней, поэтому его площадь не больше площади этой грани. Площадь основания равна 
а площадь боковой грани меньше 
(поскольку апофема не больше бокового ребра).
Если же это четырехугольник, то его диагонали являются проекциями скрещивающихся ребер пирамиды, поэтому их длины не больше 1 и 2, а тогда площадь не превосходит половины произведения диагоналей и не больше единицы.
С другой стороны, в правильной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающемуся с ней ребру основания. Возьмем плоскость, параллельную этим двум ребрам, тогда длины проекций будут равны длинам ребер и проекции будут перпендикулярны друг другу, значит, площадь будет в точности 
Ответ: 1.
в) Решим задачу для произвольного числа n чисел 
Введем квадратные трехчлены 
Так как по условию 
и 
то 
при всех 
Значит,
откуда и следует неравенство 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Докажите, что для любых чисел a, b, c выполняется неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
получили верное неравенство для 
a, b, c .
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для любых чисел a, b, c выполняется неравенство 
Докажем, что неравенство выполняется:
получили верное неравенство 
| Критерии оценивания | Баллы |
|---|---|
| Полное обоснованное решение | 7 |
| Обоснованное решение с несущественными недочетами | 6 |
| Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений | 5−6 |
| Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев | 4 |
| Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи | 2−3 |
| Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении | 1 |
| Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Докажите, что для неотрицательных чисел a, b, c выполняется неравенство
Пусть 
откуда для неотрицательных чисел a, b, c 
Тогда для неотрицательных чисел x, y, z исходное неравенство перепишется в виде
Так как
то складывая эти три неравенства, получим верное неравенство (*).
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх